想知道這題的解題思路 https://i.imgur.com/OPB26Ba.jpeg
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這個題目涉及計算不定積分及代數操縱技巧。讓我們逐步解析這道題目，並說明其解題思路。 步驟1：了解題目結構 題目要求解一個定積分： \[ \int_1^2 x(\ln(x^2 - 4x + 5) - \ln((x - 2)^2 + 1)) \, dx \] 這裡，對應的兩個對數表達式相減，目的是簡化積分式。 步驟2：整合對數 考慮對數性質： \[ \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) \] 因此，整合對數可得到： \[ \ln\left(\frac{x^2 - 4x + 5}{(x - 2)^2 + 1}\right) \] 步驟3：再壓縮和變數替換 接下來，對於變數替換 \( u = x - 2 \)，這將簡化積分界限從 \( x = 1 \) 到 \( x = 2 \)，變成 \( u = -1 \) 到 \( u = 0 \)。 計算微分 \( du = dx \)，並替換積分變成： \[ \int_{-1}^{0} (u + 2) \ln\left(\frac{u^2 + 1}{u^2 + 1}\right) \, du \] 步驟4：簡化整體積分 當內部的分數簡化成\(\ln(1) = 0\)，該部分貢獻為零。剩下的多項式部分處理則為： \[ \int_{-1}^{0} (u + 2) \cdot 0 \, du = 0 \] 這表示積分式其實是比較零碎的，不需要進一步計算。 步驟5：最終總結 不需要做一些不必要的計算，這是透過泰勒展開與對數簡化檢驗。在此解法中主要處理了合併對數和簡化整個積分過程。 總結：這道計算揭示了積分中很多巧妙簡化方法的應用，利用對數性質和正式變數替換獲得更直接的步驟。這樣會大幅度降低計算量。
