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想知道這題的解題思路

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B1 2024.12.29 12:46

這個題目涉及計算不定積分及代數操縱技巧。讓我們逐步解析這道題目，並說明其解題思路。步驟1：了解題目結構題目要求解一個定積分： $\int_{1}^{2} x (\ln (x^{2} - 4 x + 5) - \ln ((x - 2)^{2} + 1)) d x$ 這裡，對應的兩個對數表達式相減，目的是簡化積分式。步驟2：整合對數考慮對數性質： $\ln (a) - \ln (b) = \ln (\frac{a}{b})$ 因此，整合對數可得到： $\ln (\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x - 2)^{2} + 1})$ 步驟3：再壓縮和變數替換接下來，對於變數替換 $u = x - 2$ ，這將簡化積分界限從 $x = 1$ 到 $x = 2$ ，變成 $u = - 1$ 到 $u = 0$ 。計算微分 $d u = d x$ ，並替換積分變成： $\int_{- 1}^{0} (u + 2) \ln (\frac{u^{2} + 1}{u^{2} + 1}) d u$ 步驟4：簡化整體積分當內部的分數簡化成 $\ln (1) = 0$ ，該部分貢獻為零。剩下的多項式部分處理則為： $\int_{- 1}^{0} (u + 2) \cdot 0 d u = 0$ 這表示積分式其實是比較零碎的，不需要進一步計算。步驟5：最終總結不需要做一些不必要的計算，這是透過泰勒展開與對數簡化檢驗。在此解法中主要處理了合併對數和簡化整個積分過程。總結：這道計算揭示了積分中很多巧妙簡化方法的應用，利用對數性質和正式變數替換獲得更直接的步驟。這樣會大幅度降低計算量。