Battle 5 | 課業板 | Meteor 學生社群

請問這題如何求解，需要有計算過程，不可以用猜的。

回文

你可能有興趣的文章...

全部留言

B1 2024.10.17 14:36

要解這個方程式，我們可以使用二項式定理和代數技巧。方程式是： $(4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62$ 我們可以設 $a = 4 + \sqrt{15}$ 和 $b = 4 - \sqrt{15}$ 。因此，方程式變為： $a^{x} + b^{x} = 62$ Step 1: 檢查 $a$ 和 $b$ 的性質注意到 $a \cdot b = (4 + \sqrt{15}) (4 - \sqrt{15}) = 4^{2} - (\sqrt{15})^{2} = 16 - 15 = 1$ 。 Step 2: 使用遞迴關係由於 $a \cdot b = 1$ ，我們可以使用遞迴關係： $a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} + b^{n - 1}) - a^{n - 2} - b^{n - 2}$ 其中 $a + b = 8$ 。 Step 3: 計算初始值計算初始值： - $a^{0} + b^{0} = 1 + 1 = 2$ - $a^{1} + b^{1} = 4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15} = 8$ Step 4: 計算 $a^{2} + b^{2}$ 使用遞迴關係： $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a^{1} + b^{1}) - a^{0} - b^{0} = 8 \times 8 - 2 = 64 - 2 = 62$ Step 5: 確認解我們發現 $a^{2} + b^{2} = 62$ ，因此 $x = 2$ 是方程式的解。結論 $x = 2$