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請問這題如何求解，需要有計算過程，不可以用猜的。
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要解這個方程式，我們可以使用二項式定理和代數技巧。方程式是： \[ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 62 \] 我們可以設 \( a = 4 + \sqrt{15} \) 和 \( b = 4 - \sqrt{15} \)。因此，方程式變為： \[ a^x + b^x = 62 \] Step 1: 檢查 \( a \) 和 \( b \) 的性質 注意到 \( a \cdot b = (4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1 \)。 Step 2: 使用遞迴關係 由於 \( a \cdot b = 1 \)，我們可以使用遞迴關係： \[ a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} + b^{n-1}) - a^{n-2} - b^{n-2} \] 其中 \( a + b = 8 \)。 Step 3: 計算初始值 計算初始值： - \( a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2 \) - \( a^1 + b^1 = 4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15} = 8 \) Step 4: 計算 \( a^2 + b^2 \) 使用遞迴關係： \[ a^2 + b^2 = (a + b)(a^1 + b^1) - a^0 - b^0 = 8 \times 8 - 2 = 64 - 2 = 62 \] Step 5: 確認解 我們發現 \( a^2 + b^2 = 62 \)，因此 \( x = 2 \) 是方程式的解。 結論 \[ x = 2 \]
