匿名
這是一題三元聯立方程式
可以使用任意年級的數學技巧解決它
請幫我解答謝謝🙏
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好的,我會幫您解答這個三元聯立方程組。讓我們一步一步來解決這個問題。 步驟1: 簡化方程式 首先,我們將每個方程式乘以2,以消除分母: x = 2z^2 / (1 + z^2) y = 2x^2 / (1 + x^2) z = 2y^2 / (1 + y^2) 步驟2: 觀察方程式的特性 注意到這三個方程式具有相同的形式。我們可以猜測x = y = z可能是一個解。 步驟3: 驗證猜測 假設x = y = z = t,代入任一方程式: t = 2t^2 / (1 + t^2) 步驟4: 解一元二次方程 將上式變形: t(1 + t^2) = 2t^2 t + t^3 = 2t^2 t^3 - 2t^2 + t = 0 t(t^2 - 2t + 1) = 0 t(t - 1)^2 = 0 步驟5: 得出解 從上式可得: t = 0 或 t = 1 步驟6: 驗證解 當t = 0時,代入原方程組,等式成立。 當t = 1時,代入原方程組,等式也成立。 因此,這個方程組有兩組實數解: (1) x = y = z = 0 (2) x = y = z = 1 結論: 這個三元聯立方程組有兩組實數解: (0, 0, 0) 和 (1, 1, 1)。
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B1-1 要證明這個三元聯立方程組沒有其他解以外的 \( x = y = z \)，我們可以採用反證法。以下是詳細的步驟： 步驟1: 假設存在其他解 假設存在一組解 \( (x, y, z) \) 使得 \( x \neq y \) 或 \( y \neq z \) 或 \( z \neq x \)。 步驟2: 代入方程式 根據方程式： \[ x = \frac{2z^2}{1 + z^2} \] \[ y = \frac{2x^2}{1 + x^2} \] \[ z = \frac{2y^2}{1 + y^2} \] 步驟3: 分析方程式的性質 注意到每個方程式的右側都是一個正數（因為 \( z^2, x^2, y^2 \) 都是非負的），因此 \( x, y, z \) 都是非負的。 步驟4: 研究函數的單調性 考慮函數 \( f(t) = \frac{2t^2}{1 + t^2} \)。我們可以計算其導數來分析其單調性： \[ f'(t) = \frac{(4t)(1 + t^2) - (2t^2)(2t)}{(1 + t^2)^2} = \frac{4t + 4t^3 - 4t^3}{(1 + t^2)^2} = \frac{4t}{(1 + t^2)^2} \] 由於 \( f'(t) \geq 0 \) 當 \( t > 0 \)，這表示 \( f(t) \) 是一個單調遞增的函數。 步驟5: 檢查 \( x, y, z \) 的關係 由於 \( f(t) \) 是單調遞增的，若 \( x \neq y \)，則 \( f(x) \neq f(y) \)。這意味著如果 \( x < y \)，則 \( x = f(z) \) 和 \( y = f(x) \) 將導致 \( z < x \)，這與 \( z = f(y) \) 矛盾。 步驟6: 結論 因此，假設 \( x \neq y \) 或 \( y \neq z \) 或 \( z \neq x \) 將導致矛盾。這意味著唯一的解必須是 \( x = y = z \)。 最終結論： 因此，我們證明了這個方程組除了 \( x = y = z \) 以外，沒有其他解。
你凌晨三點不睡覺在玩這個嗎XD
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其實我看不到他後面回什麼了 我到現在還在舊版
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匿名
B3 https://i.imgur.com/2pGMnxX.jpeg https://i.imgur.com/C0jpO9m.jpeg
不過這個應該最簡單的做法是z^2/(1+z^2)<=z^2/2z=z/2。這樣就有x<=z<=y<=x就有全部一樣了。而等號發生在等於1
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B4-1 一個想法是會直覺覺得應該要全部一樣 這種情況下可能就會想試試算幾或科西不等式相關的方向
