一樣隔很久😅
原本應該要先證明上次說好的：
線性映射 φ : V↦W 時
dim(V)=dim(ker❨φ❩)+dim(W)
但是要證明這個之前得先提一點其他的東西，怎麼說呢？
我最後決定我雖然沒什麼時間了，但是要給就給完整一點吧!
所以這次會先提幾個其他東西，在下次會用到的，然後講這個剛好可以一起順便證明基底的個數為什麼會和維度一樣
開始囉😃
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首先，我們要講一個很重要的東西：
Replacement Lemma:
Suppose S is a set of generator of a vector space V , and subset B⊂V is a linearly independent set. B={v1,v2,...,vm}
Then there is a subset W={w1,w2,...wm}⊂S ,such that B∪(S-W) is also a set of generators
應該不用翻譯吧我相信各位，要再說
❨pf❩ :
V1=a1w1+......+anwn (wi⊂S) (ai not all zero)
(v1≠0)
接下來用到數學歸納法的概念：
(不懂的請去看羊羹羹的文歐)
第一項：
a1w1=( -v1 )+ a2w2,.......,anwn
w1=(-1/a1) v1 + (a2/a1) w2 +.....+(an/a1) wn
w1=span{v1,w2, w3,.......,wn} (w1是那個集合的線性組合的意思)
然後就可以發現 span S = span {w1,w2,....,wn}
(分別做出每個 S 裡面的向量 ，再做一樣的線性組合就可以了)
⇒span{v1,w2,w3,.....,wn}
代換成立
那麼假設第 k 項成立 ， 來看看 k+1項
Vk+1 = a1 v1 +......+ak vk +(ak+1)(wk+1) +...... +an wn
我們可以說ak+1,.......,an 不全為0
因為如果ak+1=.....=an=0
那麼vk+1= a1v1 +..... +ak vk
⇒a1v1 +..... + ak vk +(-1) vk+1 =0
{v1,......vk , vk+1} linear dependent 跟前面所說矛盾
既然一定有不是0的，那麼
wk+1 = (-1/ ak+1 ) vk+1 + (a1/ak+1) v1 + ....... + (ak/ak+1) vk + (ak+2/ak+1) wk+2 +............ + (an/ak+1) wn
第k+1項成立，故得證
有了它之後，我們來看個東西：
Thm:
The basis have the same size ,
Namely if B , B' are the two basis of a vector space V , then dim(B) = dim(B')
也就是說兩個向量空間基底會一樣的意思
證明的話其實不難,
假設 dim(B) = n , dim(B') = m
根據replacement lemma ，因為基底就線性獨立了，所以可以把 B 裡的一部分用 B'代替
因為要可以代替，得到 dim(B)≥dim(B')
或是把 B' 中的一部分用 B 代替，
得到 dim (B') ≥ dim(B)
合併後得到 dim(B)≥dim(B')≥dim(B)
⇒ dim(B) = dim(B') 得證
所以說同維度向量空間基底的個數維度會一樣，然後再幾維向量空間隨便都可以找到一個個數跟維度一樣的基底，也就是所有基底數量都會一樣且跟維度相等的意思囉😃
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打那麼久看的人是個位數還真的有點心酸呢哈哈
(因為要一直換符號找符號，所以比我在其他地方發的普通文花更多時間，還有想怎麼說比較清楚)
我會努力在暑假結束前打完的💪
-Flugzeug✈
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