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這道題目主要是要利用二項式定理來解數列的和。讓我們分別來解這兩個問題。 (1) 計算 \( C_0^9 + C_1^9 + C_2^9 + \cdots + C_9^9 \) 這是一個完整的二項式展開和，可以使用二項式定理來計算。 根據二項式定理： \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] 選擇 \(a = 1\) 和 \(b = 1\) 就得到： \[ (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n \] 所以： \[ 2^9 = \sum_{k=0}^{9} C_k^9 \] 計算結果： \[ 2^9 = 512 \] 因此，\( C_0^9 + C_1^9 + C_2^9 + \cdots + C_9^9 = 512 \)。 (2) 計算 \( C_0^9 - C_1^9 + C_2^9 - \cdots + C_9^9 \) 這是二項式係數的交錯加法和，可以使用二項式定理中的交錯版本來計算。 選擇 \(a = 1\) 和 \(b = -1\)，得到： \[ (1 - 1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n \cdot (-1)^k \] 所以： \[ 0^9 = \sum_{k=0}^{9} C_k^9 \cdot (-1)^k \] 計算結果： \[ 0 = \sum_{k=0}^{9} C_k^9 \cdot (-1)^k \] 因此，\( C_0^9 - C_1^9 + C_2^9 - \cdots + C_9^9 = 0 \)。
