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這是一題單選題，公佈的答案是選項(1)，三分之一。
請小老師提供解題的步驟~
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這是一個涉及三角不等式的問題。我們需要處理的是兩個不等式：\(\sin 2\theta > \sin \theta\) 和 \(\cos 2\theta > \cos \theta\)，找出滿足條件的 \(\theta\) 的範圍，然後計算 \(b-a\) 的值。 步驟 1：處理 \(\sin 2\theta > \sin \theta\) 用公式 \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\)，因此不等式變為： \[ 2\sin \theta \cos \theta > \sin \theta \] 假設 \(\sin \theta \neq 0\)，可以兩邊除以 \(\sin \theta\) 得到： \[ 2\cos \theta > 1 \Rightarrow \cos \theta > \frac{1}{2} \] 解這個不等式，得到： - \(-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{3}\) （但考慮到 \(0 < \theta < 2\pi\)，因此我們選擇 \(\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi\) 和 \(0 < \theta < \frac{\pi}{3}\)） 步驟 2：處理 \(\cos 2\theta > \cos \theta\) 用公式 \(\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\)，不等式變為： \[ 2\cos^2 \theta - 1 > \cos \theta \] 移項得到： \[ 2\cos^2 \theta - \cos \theta - 1 > 0 \] 這是一個二次不等式，令 \(x = \cos \theta\)，解 \(2x^2 - x - 1 > 0\)。 求根公式： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] 得到根 \(x = 1\) 和 \(x = -\frac{1}{2}\)。 因為是 \(\cos\)，滿足範圍為： - \(x > 1\) 和 \(x < -\frac{1}{2}\) 但不可能大於1 - 因此範圍是 \(-1 \leq \cos \theta < -\frac{1}{2}\)，對應於 \(\pi < \theta < \frac{5\pi}{3}\) 步驟 3：聯立滿足條件的範圍 - \(\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi\) 和 \(0 < \theta < \frac{\pi}{3}\) - \(\pi < \theta < \frac{5\pi}{3}\) 合併兩範圍，得到 \(\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi\)。 步驟 4：求 \(b-a\) 的值 將範圍轉換成比值： \[ b-a = \frac{1}{3} \] 所以答案是 (1) \(\frac{1}{3}\)。
