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我們要解的是以下積分： \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{2x + 10 \sqrt{x} + 12} \, dx \] 第一步：變數代換 令 \( u = \sqrt{x} \)，則 \( x = u^2 \) 且 \( dx = 2u \, du \)。 當 \( x = 0 \)，則 \( u = 0 \)； 當 \( x = 1 \)，則 \( u = 1 \)。 這樣，原積分就變為： \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{2u^2 + 10u + 12} \cdot 2u \, du \] 第二步：化簡積分 化簡積分： \[ = \int_{0}^{1} \frac{2u}{2u^2 + 10u + 12} \, du \] 將分子和分母中的常數約分： \[ = \int_{0}^{1} \frac{u}{u^2 + 5u + 6} \, du \] 第三步：分解部分分式 需要將分母進行因式分解以便於進行部分分式分解： \( u^2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3) \) 因此，使用部分分式分解得到： \[ \frac{u}{(u+2)(u+3)} = \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u+3} \] 通過分子並合並簡化，可以得到： \[ u = A(u + 3) + B(u + 2) \] 通過設定等號兩邊的係數相等，可以解得係數 \( A \) 和 \( B \)： 1. \( A + B = 1 \) 2. \( 3A + 2B = 0 \) 解這組方程，得到 \( A = 2 \) 和 \( B = -1 \)。 第四步：分別積分 再將其代入到原積分中： \[ = \int_{0}^{1} \left(\frac{2}{u+2} - \frac{1}{u+3}\right) \, du \] 分別計算兩個積分： \[ 2\int_{0}^{1} \frac{1}{u+2} \, du - \int_{0}^{1} \frac{1}{u+3} \, du \] 計算結果為： \[ 2[\ln|u+2|]_{0}^{1} - [\ln|u+3|]_{0}^{1} \] 第五步：計算結果 將上下限代入： \[ 2(\ln 3 - \ln 2) - (\ln 4 - \ln 3) \] 化簡得： \[ 2\ln 3 - 2\ln 2 - \ln 4 + \ln 3 = 3\ln 3 - 2\ln 2 - \ln 4 \] 這樣最終結果就是： \[ \ln \left(3^2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}\right) = \ln \left(\frac{9}{4}\right) \] 因此，這個積分的最終結果為： \[ \ln \left(\frac{9}{4}\right) \]
