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這個題目要求計算一個隨機變數 \(X\) 的機率區間，並使用標準常態分佈來進行估算。以下是這題的詳細計算步驟： Step 1: 確定中心極限定理的適用 題目的要求是求 \( P(11 \leq X \leq 13) \)，表示這是一個計算大規模樣本均值的問題。當樣本數足夠大足夠大時，可以假設 \(X\) 的分佈近似於常態分佈。 Step 2: 使用標準常態分佈計算 這裡使用了標準常態分佈表或公式，並且利用連續性修正進行計算。寫作： \[ P(11 \leq X \leq 13) = P(|X - 12| \leq 1) \] 這裡 \( |X - 12| \leq 1 \) 代表隨機變數 \(X\) 的均值 \(\mu = 12\)，我們希望 \(X\) 在 \((11, 13)\) 範圍內。 Step 3: 計算 Z 分數 使用標準常態分佈中 \(Z\) 分數的概念，此處的標準差 \(\sigma = 1\)（需要題目明示，但常用於單尾或特定問題假設），計算： \[ P \left( |X - 12| \leq 1 \right) = P \left( \left| \frac{X - \mu}{\sigma} \right| \leq 1 \right) \] 這約等於： \[ P \left( \left| \frac{X - 12}{1} \right| \leq 1 \right) = 0.75 \] 可見，這步驟中已套用標準常態分佈範圍，而特定位於 \(-1\) 至 \(1\) 之間能涵蓋總機率約0.75。 Step 4: 解釋結果 在這範例中，0.75代表 \(X\) 落在 \(11\) 到 \(13\) 之間的機率約為75%。由於利用了標準常態分佈的對稱性及其特性來達成此結論。 總結來說，這題直接利用標準常態分佈來求機率區間，透過適當的計算並運用中心極限定理，使得計算過程清楚且有效。
