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要解決這個問題，我們需要找出集合 \( A \) 和 \( B \) 的交集為 \(\{1, 5\}\) 的條件下，求出變數 \( a \) 的值。 步驟 1: 列出集合 A 的方程 集合 \( A = \{4, a^2 - 4a + 8, a^2 - 3a + 1\} \)。 步驟 2: 確定交集中的元素 已知 \( A \cap B = \{1, 5\} \) 且 \( B = \{1, 7, a^2 - a - 1\} \)。因此，集合 \( A \) 中至少要有 1 和 5。 步驟 3: 比較方程 因為集合 \( A \) 中的元素必須是 1 和 5，代入等式解： - \( a^2 - 4a + 8 = 1 \) - \( a^2 - 4a + 8 = 5 \) - \( a^2 - 3a + 1 = 1 \) - \( a^2 - 3a + 1 = 5 \) 步驟 4: 解方程 1. \( a^2 - 4a + 8 = 1 \) \[ a^2 - 4a + 7 = 0 \] 2. \( a^2 - 4a + 8 = 5 \) \[ a^2 - 4a + 3 = 0 \] 3. \( a^2 - 3a + 1 = 1 \) \[ a^2 - 3a = 0 \] 4. \( a^2 - 3a + 1 = 5 \) \[ a^2 - 3a - 4 = 0 \] 步驟 5: 解每個方程得到 \( a \) 的值 1. \( a^2 - 4a + 7 = 0 \) 通過判別式： \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 7 = 16 - 28 = -12 \] （無實根） 2. \( a^2 - 4a + 3 = 0 \)： \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 = 16 - 12 = 4 \] 根為： \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ a = 3 \quad \text{或} \quad a = 1 \] 3. \( a^2 - 3a = 0 \)： \[ a(a - 3) = 0 \] \[ a = 0 \quad \text{或} \quad a = 3 \] 4. \( a^2 - 3a - 4 = 0 \) 通過判別式： \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 \] 根為： \[ a = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] \[ a = 4 \quad \text{或} \quad a = -1 \] 步驟 6: 根據 \( A \cap B \) 的條件選擇正確的 \( a \) 我們觀察到，選擇 \( a = 3 \) 時，只有該值滿足在 \( A \) 和 \( B \) 的交集為 \(\{1, 5\}\)。 最終答案是 \( a = 3 \)。
