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B1 2025.03.26 08:22

為了解決這個遞迴關係式 $a_{n} = 2 a_{n - 1} - 3 a_{n - 2} + 1$ 並找到一般項 $a_{n}$ ，我們可以按照以下步驟來進行：第一步：設定初始條件遞迴關係式通常需要初始條件，由題目提供的初始條件： - $a_{1} = 2$ - $a_{2} = 3$ 第二步：找到特徵方程式要找出齊次方程部分的特徵方程式： $a_{n} = 2 a_{n - 1} - 3 a_{n - 2}$ 假設解的形式為 $a_{n} = r^{n}$ ，代入得到特徵方程式： $r^{n} = 2 r^{n - 1} - 3 r^{n - 2}$ 簡化後的特徵方程式是： $r^{2} - 2 r + 3 = 0$ 第三步：解特徵方程式解這個特徵方程式以找到 $r$ 的值： $r^{2} - 2 r + 3 = 0$ 這個方程無實根，由於判別式 $Δ = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8$ 小於零，意味著方程具有兩個虛根。使用公式： $r = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ $\Delta$為負值，方程式的解為： $r_{1} = 1 + \sqrt{2} i$ $r_{2} = 1 - \sqrt{2} i$ 第四步：齊次方程的通解齊次解的通解為： $a_{n}^{h} = C_{1} (1 + \sqrt{2} i)^{n} + C_{2} (1 - \sqrt{2} i)^{n}$ 第五步：特解觀察非齊次項的特徵，即常數1，假設特解為常數形態 $a_{n}^{p} = A$ ，則：代入遞迴方程式中： $A = 2 A - 3 A + 1$ $- 2 A = 1$ $A = - \frac{1}{2}$ 第六步：總解因為總解為齊次解加上特解： $a_{n} = a_{n}^{h} + a_{n}^{p} = C_{1} (1 + \sqrt{2} i)^{n} + C_{2} (1 - \sqrt{2} i)^{n} - \frac{1}{2}$ 第七步：使用初始條件找出常數利用初始條件求出 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ： 1. $a_{1} = 2$ $2 = C_{1} (1 + \sqrt{2} i) + C_{2} (1 - \sqrt{2} i) - \frac{1}{2}$ 2. $a_{2} = 3$ $3 = C_{1} (1 + \sqrt{2} i)^{2} + C_{2} (1 - \sqrt{2} i)^{2} - \frac{1}{2}$ 用這兩個方程求出 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的值。由於此處採用的指數形式通常對應複數解，建議考慮解析模態的替代方法以求得實數解的未知常數。具有這些值後，將其代入總解中的 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ，從而找到 $a_{n}$ 之一般解。