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要找到 \((x^3 + 2y)^5\) 展開式中 \(x^3y^4\) 項的係數，我們可以使用二項式定理： 二項式定理公式為： \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] 在這裡，\(a = x^3\)，\(b = 2y\)，\(n = 5\)。我們需要找出展開式中滿足下列條件的項： \[ (x^3)^{n-k} \cdot (2y)^k = x^3y^4 \] 步驟1：確定指數條件 - \( (x^3)^{n-k} \) 中的 \(x\) 指數為 \(3(n-k)\)，應等於 3。 - \( (2y)^k \) 中的 \(y\) 指數為 \(k\)，應等於 4。 由於 \(3(n-k) = 3\)，因此 \(n-k = 1\) 或者 \(k = 4\)。這樣 \(5 - 4 = 1\)，所以 \(n-k = 1\) 符合。 步驟2：計算係數 應用二項式定理計算係數： \[ \binom{5}{4} \cdot (x^3)^1 \cdot (2y)^4 = \binom{5}{4} \cdot x^3 \cdot (2^4 y^4) \] 步驟3：進行計算 - 計算組合數 \(\binom{5}{4} = 5\) - 計算 \((2)^4 = 16\) 因此，係數為： \[ 5 \cdot 1 \cdot 16 = 80 \] 最後，\((x^3 + 2y)^5\) 展開式中 \(x^3y^4\) 項的係數為 80。
