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要找到 \((x^2 - \frac{1}{x})^6\) 展開式中特定項的係數，我們可以使用二項式定理。這題目要求找三個部分：(1) 常數項，(2) \(x^7\) 項，(3) \(x^5\) 項。 二項式定理公式為： \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] 在這裡，\(a = x^2\)，\(b = -\frac{1}{x}\)，且 \(n = 6\)。 (1) 找常數項 常數項要求指數和為零。 令： \[ (x^2)^{n-k} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^k \] 指數設定如下： \[ 2(n-k) - k = 0 \] 解方程： \[ 2n - 2k - k = 0 \Rightarrow 2n = 3k \] \[ 12 = 3k \Rightarrow k = 4 \] 計算組合數和係數： \[ \binom{6}{4}(x^2)^2\left(-\frac{1}{x}\right)^4 = \binom{6}{4}x^4 \cdot \frac{1}{x^4} \] 運算結果： \[ \binom{6}{4} = 15 \] 所以，常數項的係數是 15。 (2) 求 \(x^7\) 項的係數 設 \(2(n-k) - k = 7\) 解方程： \[ 12 - 2k - k = 7 \Rightarrow 12 - 3k = 7 \Rightarrow 3k = 5 \Rightarrow k \text{ 無法達成整數，無此項} \] (3) 求 \(x^5\) 項的係數 設 \(2(n-k) - k = 5\) 解方程： \[ 12 - 2k - k = 5 \Rightarrow 12 - 3k = 5 \Rightarrow 3k = 7 \Rightarrow k \text{ 不可能是整數，無此項} \] 最後，結果是： 1. 常數項係數為 15。 2. 沒有 \(x^7\) 項。 3. 沒有 \(x^5\) 項。
