求由 x + 2y + z = 2、 x = 2y、 x = 0、 z = 0 所圍之四面體的體積
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我們將逐步解決這個問題，計算由給定方程所圍成的四面體體積。 Step 1: 確定四面體的頂點 首先，我們需要找出四面體的四個頂點。這些頂點是由給定方程的交點決定的。 Step 2: 找出 x = 0 平面上的點 當 x = 0 時，從方程 x + 2y + z = 2 可得： 2y + z = 2 這條線與 z = 0 的交點為 (0, 1, 0) Step 3: 找出 y 軸上的點 當 x = 0 且 z = 0 時，從方程 x + 2y + z = 2 可得： y = 1 所以 y 軸上的點為 (0, 1, 0) Step 4: 找出 z 軸上的點 當 x = 0 且 y = 0 時，從方程 x + 2y + z = 2 可得： z = 2 所以 z 軸上的點為 (0, 0, 2) Step 5: 找出 x 軸上的點 從方程 x = 2y 和 x + 2y + z = 2，當 z = 0 時： x + 2(x/2) = 2 2x = 2 x = 1 所以 x 軸上的點為 (1, 0, 0) Step 6: 計算四面體體積 四面體的體積可以用以下公式計算： V = (1/6) * |det(a, b, c)| 其中 a, b, c 是從原點(0,0,0)到其他三個頂點的向量。 我們選擇 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,2) 作為這三個向量。 det(a, b, c) = det([1 0 0; 0 1 0; 0 0 2]) = 1 * 1 * 2 = 2 Step 7: 最終計算 V = (1/6) * |2| = 1/3 因此，這個四面體的體積是 1/3 立方單位。
