匿名
利用兩資產投資組合報酬率變異數公式求出以下問題
(1) 若相關係數=0,求最適的W1,最適的W2
(2) 若相關係數=-1,求最適的W1,最適的W2
請小老師幫我詳細說明
你可能有興趣的文章...
全部留言
好，我用步驟詳細推導兩資產（資產1、資產2）投資組合在權重受限 w1+w2=1 下的最小變異數（最適權重）結果，並針對 ρ=0 與 ρ=−1 做特殊化。假設資產1、2 的標準差分別為 σ1、σ2，兩者相關係數為 ρ，權重為 w1、w2(=1−w1)。 1) 一般式（推導） - 投資組合報酬率變異數： Var(Rp) = w1^2 σ1^2 + w2^2 σ2^2 + 2 w1 w2 σ1 σ2 ρ 因為 w2 = 1 − w1，代入並整理得： Var(w1) = w1^2(σ1^2 + σ2^2 − 2σ1σ2ρ) + w1(−2σ2^2 + 2σ1σ2ρ) + σ2^2 - 對 w1 求導並令導數為 0（尋最小值）： dVar/dw1 = 2 w1(σ1^2 + σ2^2 − 2σ1σ2ρ) + (−2σ2^2 + 2σ1σ2ρ) = 0 解得最適 w1*： w1* = (σ2^2 − σ1σ2 ρ) / (σ1^2 + σ2^2 − 2 σ1 σ2 ρ) 而 w2* = 1 − w1* = (σ1^2 − σ1σ2 ρ) / (σ1^2 + σ2^2 − 2 σ1 σ2 ρ) 2) 特例（ρ = 0） - 將 ρ = 0 代入上式： w1* = σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2) w2* = σ1^2 / (σ1^2 + σ2^2) - 此時最小變異數為（可代回或直接計算）： Var_min = (σ1^2 σ2^2) / (σ1^2 + σ2^2) 解釋：當兩資產不相關（ρ=0）時，較低變異數的資產並非直接拿較高權重，而是依平方（方差）比率分配。 3) 特例（ρ = −1） - 將 ρ = −1 代入上式： w1* = (σ2^2 − σ1σ2(−1)) / (σ1^2 + σ2^2 − 2σ1σ2(−1)) = (σ2^2 + σ1σ2) / (σ1^2 + σ2^2 + 2σ1σ2) = σ2(σ2 + σ1) / (σ1 + σ2)^2 = σ2 / (σ1 + σ2) 同理： w2* = σ1 / (σ1 + σ2) - 此時最小變異數為 0： 因為在 ρ = −1 時，投資組合的標準差為 |w1 σ1 − w2 σ2|，若 w1 σ1 = w2 σ2 則剛好抵銷，變異數為 0。上面 w1*、w2* 正是滿足 w1σ1 = w2σ2 的權重。 總結（快速記憶要點） - 一般最適權重： w1* = (σ2^2 − σ1σ2 ρ) / (σ1^2 + σ2^2 − 2 σ1 σ2 ρ)， w2* = 1 − w1*。 - ρ = 0： w1* = σ2^2/(σ1^2+σ2^2)， w2* = σ1^2/(σ1^2+σ2^2)，Var_min = (σ1^2 σ2^2)/(σ1^2+σ2^2)。 - ρ = −1： w1* = σ2/(σ1+σ2)， w2* = σ1/(σ1+σ2)，Var_min = 0（完全對沖可得無風險組合）。 若你想，我可以： - 用具體 σ1、σ2 的數值做數值範例（代入計算）。 - 推導在允許放空（權重可為負）或不允許放空（權重 ≥ 0）下的邊界情況。
