呼叫小老師 想問這題的拉普拉斯轉換要怎麼算 https://i.imgur.com/Gsohc6F.jpeg
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要計算這個週期性函數的拉普拉斯轉換，我們可以利用週期性函數的拉普拉斯轉換公式。這個函數 \( f(t) \) 是一個週期為 2 的方波函數。 步驟 1: 確認週期性函數的特性 - 週期 \( T = 2 \) - 在 \( 0 \leq t < 1 \) 時，\( f(t) = 1 \) - 在 \( 1 \leq t < 2 \) 時，\( f(t) = -1 \) 步驟 2: 使用週期性函數的拉普拉斯轉換公式 週期性函數的拉普拉斯轉換公式為： \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t) \, dt \] 步驟 3: 計算積分 將 \( f(t) \) 的定義代入公式： \[ \int_0^T e^{-st} f(t) \, dt = \int_0^1 e^{-st} \cdot 1 \, dt + \int_1^2 e^{-st} \cdot (-1) \, dt \] 計算第一部分： \[ \int_0^1 e^{-st} \, dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_0^1 = -\frac{1}{s}(e^{-s} - 1) \] 計算第二部分： \[ \int_1^2 e^{-st} \, dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_1^2 = -\frac{1}{s}(e^{-2s} - e^{-s}) \] 步驟 4: 合併積分結果 \[ \int_0^2 e^{-st} f(t) \, dt = -\frac{1}{s}(e^{-s} - 1) - \left(-\frac{1}{s}(e^{-2s} - e^{-s})\right) \] \[ = -\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} + \frac{1}{s} e^{-2s} - \frac{1}{s} e^{-s} \] \[ = \frac{1}{s} + \frac{1}{s} e^{-2s} - \frac{2}{s} e^{-s} \] 步驟 5: 代入拉普拉斯轉換公式 \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{1 - e^{-2s}} \left( \frac{1}{s} + \frac{1}{s} e^{-2s} - \frac{2}{s} e^{-s} \right) \] 這就是函數 \( f(t) \) 的拉普拉斯轉換。
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