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要解決這個問題，我們需要找到數列 \( a_n \) 的通項公式。已知條件包括一些已知項目 \( a_1 = 1 \)、\( a_2 = 3 \)、\( a_3 = 6 \)、\( a_4 = 10 \)、\( a_5 = 15 \) 等。 Step 1: 確定數列的性質 觀察已知的項目發現它們形成了一個等差數列的和，例如： - \( a_1 = 1 = 1 \) - \( a_2 = 3 = 1 + 2 \) - \( a_3 = 6 = 1 + 2 + 3 \) - \( a_4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 \) - \( a_5 = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \) 看起來每一項都是前n個自然數的和。 Step 2: 確定數列的通項公式 前n項自然數的和，可以用公式 \( a_n = \frac{n(n+1)}{2} \) 得到。 因此，這個數列的通項公式為： \[ a_n = \frac{n(n+1)}{2} \] Step 3: 驗證 我們可以檢查這個公式是否適用於已知項目： - \( n = 1 \): \( a_1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1 \) - \( n = 2 \): \( a_2 = \frac{2(2+1)}{2} = 3 \) - \( n = 3 \): \( a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6 \) - \( n = 4 \): \( a_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 \) - \( n = 5 \): \( a_5 = \frac{5(5+1)}{2} = 15 \) 每一項均符合公式。 結論，數列的通項公式是 \( a_n = \frac{n(n+1)}{2} \)，並確定此公式正確無誤。
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