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B1 2024.12.28 17:12

要證明 $| \sin (a) | \leq | a |$ 對所有實數 $a$ 都成立，我們可以考慮以下步驟： Step 1: 使用微積分證明首先，我們回想泰勒展開式。Sine 函數可以在 0 附近的泰勒展開式如下： $\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$ Step 2: 取線性近似注意到當 $x$ 接近 0 時， $\sin (x) \approx x$ ，換句話說，初步的線性近似為 $\sin (x) \approx x$ ，但因為高次項是負的（例如， $- \frac{x^{3}}{3!}$ ），這意味著 $\sin (x)$ 會逐漸低於 $x$ ，除 $x$ 極小值以外。 Step 3: 分析特定區間證明聚焦於某個區間，如 $| x | \leq 1$ 。對於這個區間， $\sin (x)$ 曲線在 $x$ 和 $y$ 軸的夾角會表現出其斜率小於等於 1 的情況，故： $| \sin (x) | \leq | x |$ 當然，這不僅限於某個固定角度 $| x | \leq 1$ ，此不等式會對所有 $x$ 成立，特別是當 $| x | \to \infty$ 時，任意角度的 $\sin$ 函數會收斂於範圍 $[- 1, 1]$ ，因此： $| \sin (x) | 有界於 \leq 1$ Step 4: 結論最終，由於函數 $\sin (x)$ 的特性與其泰勒展開所得的結論，我們具備足夠的證據來說明 $| \sin (a) | \leq | a |$ 。經由微積分和三角函數的性質證明，這對於所有實數 $a$ 都成立。因此，這不等式對於 $\forall a \in R$ 成立。