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B1 2024.12.28 17:17

要計算這個極限 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 \tan^{- 1} (x)) - \tan (\sin^{- 1} (2 x))}{x^{3}}$ ，我們可以考慮以下步驟。 Step 1: 使用函數的展開式來近似這些反函數。 #1.1: $\sin (2 \tan^{- 1} (x))$ 使用三角恒等式 $\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$ ，我們有： $\sin (2 \tan^{- 1} (x)) = 2 \sin (\tan^{- 1} (x)) \cos (\tan^{- 1} (x))$ 使用公式 $\sin (\tan^{- 1} (x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 和 $\cos (\tan^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ ，得到： $\sin (2 \tan^{- 1} (x)) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ #1.2: $\tan (\sin^{- 1} (2 x))$ 使用公式 $\tan (\sin^{- 1} (x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ，在 $\sin^{- 1} (2 x)$ 的情況下會變為： $\tan (\sin^{- 1} (2 x)) = \frac{2 x}{\sqrt{1 - (2 x)^{2}}}$ 近似計算小 $x$ 的情況： $\tan (\sin^{- 1} (2 x)) \approx 2 x (1 + 2 x^{2})$ Step 2: 極限計算在小 $x$ 的情況下，簡化我們的分子： $\sin (2 \tan^{- 1} (x)) - \tan (\sin^{- 1} (2 x)) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ 考慮此兩個函數的差異並近似求解： $= 2 x (\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + 2 x^{2}})$ 我們主要關注 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 的關係，由於 $x^{2}$ 是小值，計算得到： $= 2 x \times \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + 4 x^{2})} \approx 2 x \times \frac{3 x^{2}}{1} = 6 x^{3}$ Step 3: 求極值將其帶入極值式： $lim_{x \to 0} \frac{6 x^{3}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} 6 = 6$ 因此，最終得到的極限值是 6。