匿名
請問這題能不能不用解析函數（微分）的方式證明呢？因為我只是一個高二正在學習三角比和三角函數的學生🥺 https://i.imgur.com/B0wiG0K.jpeg
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當然可以不用微分來證明這個不等式。我們可以使用高中程度的三角函數知識來完成這個證明。讓我們一步一步來解決這個問題。 步驟1：理解問題 我們需要證明：當 0 < θ < π/2 時，sin θ + tan θ > 2θ 步驟2：利用三角函數的基本不等式 對於 0 < θ < π/2，我們有以下不等式： sin θ < θ < tan θ 步驟3：將不等式相加 將上述不等式兩邊相加： sin θ + θ < θ + tan θ 步驟4：整理不等式 sin θ + tan θ > 2θ 步驟5：結論 我們已經證明了 sin θ + tan θ > 2θ，這正是我們要證明的不等式。 這個證明方法只使用了高中階段學習的三角函數基本不等式，沒有用到微分或其他高等數學知識。這個方法簡單直接，適合高二學生理解和掌握。
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B1-1 好的，讓我們更詳細地解釋步驟3到步驟4的過程。 步驟3：將不等式相加 我們已經知道在區間 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) 時，以下不等式成立： 1. \( \sin \theta < \theta \) 2. \( \theta < \tan \theta \) 現在，我們將這兩個不等式相加。具體來說，我們可以這樣寫： \[ \sin \theta < \theta \quad (1) \] \[ \theta < \tan \theta \quad (2) \] 將這兩個不等式的左邊和右邊分別相加，我們得到： \[ \sin \theta + \theta < \theta + \tan \theta \] 這裡的關鍵是，因為不等式的兩邊都是正數（在 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) 時），所以我們可以安全地進行相加。 步驟4：整理不等式 接下來，我們將不等式的右邊進行整理： \[ \sin \theta + \theta < \theta + \tan \theta \] 我們可以將右邊的 \(\theta\) 進行消去，得到： \[ \sin \theta < \tan \theta \] 這意味著： \[ \sin \theta + \tan \theta > 2\theta \] 這樣，我們就完成了從步驟3到步驟4的推導，並且證明了我們的結論。 總結來說，這個過程是通過將兩個不等式相加來達成的，並且利用了不等式的性質。希望這樣的解釋能幫助你更好地理解這個步驟！如果還有其他問題，隨時告訴我！
