統計學問題🥹🥹 | 課業板

統計學問題🥹🥹

課業板 2024年12月10日 08:16

最後一題是加分題想問一下解題方式～～

B1 2024.12.10 08:16

要計算型二錯誤的機率，我們需要了解型二錯誤的定義：當虛無假設 $H_{0}$ 是錯誤的時候，卻未能拒絕它的機率。在這個問題中，我們的假設是： - $H_{0} : μ \leq 10$ - $H_{a} : μ > 10$ 給定的條件是： - 樣本數 $n = 100$ - 母體標準差 $σ = 5$ - 顯著水準 $α = 0.05$ - 實際母體平均數 $μ = 12$ 我們需要計算型二錯誤的機率 $β$ ，即在 $μ = 12$ 時未能拒絕 $H_{0}$ 的機率。步驟 1: 計算臨界值使用 $α = 0.05$ ，我們需要找到對應的臨界值 $z_{α}$ 。 - $z_{α}$ 對應於標準正態分佈的上 5%。 - 查表得 $z_{0.05} \approx 1.645$ 。計算臨界值 ${\bar{x}}_{c}$ ： ${\bar{x}}_{c} = μ_{0} + z_{α} \times \frac{σ}{\sqrt{n}} = 10 + 1.645 \times \frac{5}{\sqrt{100}} = 10 + 1.645 \times 0.5 = 10.8225$ 步驟 2: 計算型二錯誤的機率 $β$ 在 $μ = 12$ 時，計算 $β$ ： - 標準化臨界值： $z = \frac{{\bar{x}}_{c} - μ}{σ / \sqrt{n}} = \frac{10.8225 - 12}{5 / \sqrt{100}} = \frac{- 1.1775}{0.5} = - 2.355$ - 查找標準正態分佈表，得到 $P (Z < - 2.355)$ 。查表得 $P (Z < - 2.355) \approx 0.0093$ 。因此，型二錯誤的機率 $β \approx 0.0093$ 。

匿名

展開2則留言

匿名

要計算型二錯誤的機率，我們需要了解型二錯誤的定義：當虛無假設

H_{0}

是錯誤的時候，卻未能拒絕它的機率。在這個問題中，我們的假設是： -

H_{0} : μ \leq 10

H_{a} : μ > 10

給定的條件是： - 樣本數

n = 100

- 母體標準差

σ = 5

- 顯著水準

α = 0.05

- 實際母體平均數

μ = 12

我們需要計算型二錯誤的機率

β

，即在

μ = 12

時未能拒絕

H_{0}

的機率。步驟 1: 計算臨界值使用

α = 0.05

，我們需要找到對應的臨界值

z_{α}

。 -

z_{α}

對應於標準正態分佈的上 5%。 - 查表得

z_{0.05} \approx 1.645

。計算臨界值

{\bar{x}}_{c}

：

{\bar{x}}_{c} = μ_{0} + z_{α} \times \frac{σ}{\sqrt{n}} = 10 + 1.645 \times \frac{5}{\sqrt{100}} = 10 + 1.645 \times 0.5 = 10.8225

步驟 2: 計算型二錯誤的機率

β

在

μ = 12

時，計算

β

： - 標準化臨界值：

z = \frac{{\bar{x}}_{c} - μ}{σ / \sqrt{n}} = \frac{10.8225 - 12}{5 / \sqrt{100}} = \frac{- 1.1775}{0.5} = - 2.355

- 查找標準正態分佈表，得到

P (Z < - 2.355)

。查表得

P (Z < - 2.355) \approx 0.0093

。因此，型二錯誤的機率

β \approx 0.0093

。

全部留言

H_{0}

H_{0} : μ \leq 10

H_{a} : μ > 10

n = 100

σ = 5

α = 0.05

μ = 12

β

μ = 12

H_{0}

α = 0.05

z_{α}

z_{α}

z_{0.05} \approx 1.645

{\bar{x}}_{c}

{\bar{x}}_{c} = μ_{0} + z_{α} \times \frac{σ}{\sqrt{n}} = 10 + 1.645 \times \frac{5}{\sqrt{100}} = 10 + 1.645 \times 0.5 = 10.8225

β

μ = 12

β

z = \frac{{\bar{x}}_{c} - μ}{σ / \sqrt{n}} = \frac{10.8225 - 12}{5 / \sqrt{100}} = \frac{- 1.1775}{0.5} = - 2.355

P (Z < - 2.355)

P (Z < - 2.355) \approx 0.0093

β \approx 0.0093

B1-1 (原 Po) 2024.12.10 08:18

小老師求解

B1可以再幫我講型二錯誤是什麼呢

B1-2 2024.12.10 08:18

B1-1型二錯誤（Type II Error）是統計假設檢定中的一個重要概念，通常用希臘字母 $β$ 表示。它發生在以下情況： - 虛無假設 $H_{0}$ 是錯誤的，但我們卻未能拒絕它。換句話說，當實際情況（例如，母體平均數）與虛無假設相反時，我們的檢定結果卻顯示沒有足夠的證據來拒絕虛無假設。具體例子假設我們在進行一項新藥的效果測試： - 虛無假設 $H_{0}$ ：新藥對病人沒有效果（例如，藥物的平均效果為 0）。 - 對立假設 $H_{a}$ ：新藥對病人有正面效果（例如，藥物的平均效果大於 0）。如果實際上新藥確實有效（即 $H_{a}$ 為真），但我們的檢定結果卻未能拒絕 $H_{0}$ ，這就是型二錯誤。這種錯誤可能導致錯失有效治療的機會，對病人造成不利影響。型二錯誤的影響型二錯誤的機率 $β$ 受到多種因素的影響，包括： 1. 樣本大小：樣本越大，檢定的力量（power）越高，型二錯誤的機率越低。 2. 效應大小：如果實際效應很大，則更容易檢測到，型二錯誤的機率也會降低。 3. 顯著水準 $α$ ：降低顯著水準可能會增加型二錯誤的機率，因為我們更不容易拒絕虛無假設。總結來說，型二錯誤是統計檢定中一個重要的考量，了解它有助於我們在進行假設檢定時做出更明智的決策。

登入後發表留言