求解 | 課業板 | Meteor 學生社群

✨

回文

你可能有興趣的文章...

全部留言

B1 2025.02.21 16:12

要解這個數列的和 $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots + (1 + 2 + 3 + \dots + n)$ ，可以將其表示為一個數列的和，並進行推導。 Step 1: 表達式拆解 - 這個數列可以表示為 $\sum_{k = 1}^{n} (1 + 2 + 3 + \dots + k)$ 。 Step 2: 單項和公式 - $1 + 2 + 3 + \dots + k$ 的和可以用公式 $\frac{k (k + 1)}{2}$ 來表示。 Step 3: 代入單項和公式 - 所以我們將和式改寫為 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k (k + 1)}{2}$ 。 Step 4: 拆分和 - 將和拆開為 $\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k$ 。 Step 5: 公式應用 - 對於 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ ，使用公式 $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ 。 - 對於 $\sum_{k = 1}^{n} k$ ，使用公式 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 。 Step 6: 帶入計算 - 首先計算 $\frac{1}{2} \cdot \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ 。 - 再計算 $\frac{1}{2} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}$ 。合併兩者得到: - $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{12} + \frac{n (n + 1)}{4}$ 。 Step 7: 組合和化簡 - 將兩個分數通分得到： $\frac{n (n + 1) (2 n + 1) + 3 n (n + 1)}{12}$ 。 - 進一步化簡為： $\frac{n (n + 1) (2 n + 4)}{12}$ 。這就是原數列的總和。