全部留言
要解這個數列的和 \(1 + (1+2) + (1+2+3) + \cdots + (1+2+3+\cdots+n)\)，可以將其表示為一個數列的和，並進行推導。 Step 1: 表達式拆解 - 這個數列可以表示為 \( \sum_{k=1}^{n} (1 + 2 + 3 + \cdots + k) \)。 Step 2: 單項和公式 - \(1 + 2 + 3 + \cdots + k\) 的和可以用公式 \(\frac{k(k+1)}{2}\) 來表示。 Step 3: 代入單項和公式 - 所以我們將和式改寫為 \(\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}\)。 Step 4: 拆分和 - 將和拆開為 \(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k\)。 Step 5: 公式應用 - 對於 \(\sum_{k=1}^{n} k^2\)，使用公式 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。 - 對於 \(\sum_{k=1}^{n} k\)，使用公式 \(\frac{n(n+1)}{2}\)。 Step 6: 帶入計算 - 首先計算 \(\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。 - 再計算 \(\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}\)。 合併兩者得到: - \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{4}\)。 Step 7: 組合和化簡 - 將兩個分數通分得到： \(\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{12}\)。 - 進一步化簡為： \(\frac{n(n+1)(2n+4)}{12}\)。 這就是原數列的總和。
