小老師

課業板 2024年12月25日 12:12

B2要解決這兩個問題，我們可以依照給定的數據與期望的概念來進行計算。以下是逐步的解題過程。 問題 ②：計算平均停車時間 #Step 1: 計算總車輛數 - 根據表格，計算所有車輛的數量之和。 $$\text{總樣本數}=29+15+23+9+9+5=90$$ #Step 2: 計算每個區間的中間值 - 計算每個停車時間區間的中間值： 1. $0\le X<5$ 分鐘: 中間值 = 2.5 2. $5\le X<10$ 分鐘: 中間值 = 7.5 3. $10\le X<15$ 分鐘: 中間值 = 12.5 4. $15\le X<20$ 分鐘: 中間值 = 17.5 5. $20\le X<30$ 分鐘: 中間值 = 25 6. $30\le X<60$ 分鐘: 中間值 = 45 #Step 3: 計算期望值 - 計算期望值 $E(X)$： $$E(X)=\sum (\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}\times \mathrm{機}\mathrm{率})$$ $$E(X)=2.5\times \frac{29}{90}+7.5\times \frac{15}{90}+12.5\times \frac{23}{90}+17.5\times \frac{9}{90}+25\times \frac{9}{90}+45\times \frac{5}{90}$$ #Step 4: 計算 代入計算可以使用公式計算最終的期望值。 --- 問題 ③：計算標準差 #Step 1: 計算期望值 - 使用上面計算出的 $E(X)$。 #Step 2: 計算方差 - 方差 $Var(X)$ 的計算公式為： $$Var(X)=\sum P(X)\times (\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}-E(X){)}^2$$ 代入計算每個區間的貢獻，然後求和： $$Var(X)=(2.5-E(X){)}^2\times \frac{29}{90}+(7.5-E(X){)}^2\times \frac{15}{90}+(12.5-E(X){)}^2\times \frac{23}{90}+(17.5-E(X){)}^2\times \frac{9}{90}+(25-E(X){)}^2\times \frac{9}{90}+(45-E(X){)}^2\times \frac{5}{90}$$ #Step 3: 計算標準差 - 標準差 $SD(X)=\sqrt{Var(X)}$。 --- 以上是問題 ② 和問題 ③ 的解題步驟。接下來，您可以根據計算步驟進行具體的數值計算。若有需要，請告訴我，我可以幫您執行計算。

B2-1   根據以上，第二題要怎麼寫

B2-2根據您提供的圖片，B2-1的問題主要是要求計算平均停車時間、標準差以及計算超過15分鐘停車的車數比例。以下將逐步解釋這些計算的流程。 Step 1: 計算平均停車時間 $E(X)$ 1. 計算所有車輛數量:     $$N=29+15+23+9+9+5=90$$ 2. 計算每個停車時間區間的中間值:    - $0-5$分鐘: 中間值(2.5)    - $5-10$分鐘: 中間值(7.5)    - $10-15$分鐘: 中間值(12.5)    - $15-20$分鐘: 中間值(17.5)    - $20-30$分鐘: 中間值(25)    - $30-60$分鐘: 中間值(45) 3. 計算期望值:    $$E(X)=\frac{1}{N}\times (2.5\times 29+7.5\times 15+12.5\times 23+17.5\times 9+25\times 9+45\times 5)$$ 4. 代入計算:    $$E(X)=\frac{1}{90}\times (72.5+112.5+287.5+157.5+225+225)=\frac{1080}{90}=12$$ 因此，平均停車時間約為12分鐘。 Step 2: 計算標準差 1. 計算方差:    $$Var(X)=\frac{1}{N}\times (\sum (\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}-E(X){)}^2\cdot \mathrm{頻}\mathrm{次})$$    需要逐項計算出 $(\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}-E(X){)}^2$ 的結果。 2. 代入計算:    $$Var(X)=\frac{1}{90}\times [(2.5-12{)}^2\times 29+(7.5-12{)}^2\times 15+(12.5-12{)}^2\times 23+(17.5-12{)}^2\times 9+(25-12{)}^2\times 9+(45-12{)}^2\times 5]$$ 3. 計算標準差:    $$SD(X)=\sqrt{Var(X)}$$ Step 3: 計算超過15分鐘停車的比率 1. 計算不少於15分鐘的頻次:    - 對於15分鐘及以上的區間加總車輛數：9 + 9 + 5 = 23。 2. 計算比率:    $$P(X>15)=\frac{23}{90}\approx 0.2556$$ 因此，超過15分鐘的車輛比例約為25.56%。 結果彙總 - 平均停車時間 $E(X)\approx 12$ 分鐘 - 標準差 $SD(X)$ 需進一步計算得出 - 超過15分鐘的車輛比例約為25.56% 以上為解題過程，您可以根據需要執行計算來獲得標準差的具體數據。若需要進一步的計算，請告訴我，我會很高興幫助您進行計算！

B2-1   根據以上，第二題要怎麼寫

B2-4根據您提供的問題 B2-1，下面是針對第二題的解題過程，包含平均停車時間和超過 15 分鐘停車的車數比例的解釋。 問題 ②：計算平均停車時間及標準差 首先，根據您給出的數據，我們需要進行以下計算： 1. 計算每個區間的中間值：    - $0-5$分鐘: 中間值 = 2.5    - $5-10$分鐘: 中間值 = 7.5    - $10-15$分鐘: 中間值 = 12.5    - $15-20$分鐘: 中間值 = 17.5    - $20-30$分鐘: 中間值 = 25    - $30-60$分鐘: 中間值 = 45 2. 計算總車輛數：    $$N=29+15+23+9+9+5=90$$ 3. 計算每個區間的期望值 $E(X)$：    $$E(X)=\frac{1}{N}\sum (\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}\times \mathrm{車}\mathrm{輛}\mathrm{數})$$    $$E(X)=\frac{1}{90}\times (2.5\times 29+7.5\times 15+12.5\times 23+17.5\times 9+25\times 9+45\times 5)$$    計算各項：    - $2.5\times 29=72.5$    - $7.5\times 15=112.5$    - $12.5\times 23=287.5$    - $17.5\times 9=157.5$    - $25\times 9=225$    - $45\times 5=225$    然後加總：    $$72.5+112.5+287.5+157.5+225+225=1080$$    而期望值為：    $$E(X)=\frac{1080}{90}=12$$ 問題 ②：計算標準差 1. 計算每個區間的方差 $Var(X)$：    $$Var(X)=\sum P(X)\times (\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}-E(X){)}^2$$    因為這裡需要先計算 $(\mathrm{中}\mathrm{間}\mathrm{值}-E(X){)}^2$。 2. 計算方差的每個部分：    $$Var(X)=\frac{1}{90}((2.5-12{)}^2\times 29+(7.5-12{)}^2\times 15+(12.5-12{)}^2\times 23+(17.5-12{)}^2\times 9+(25-12{)}^2\times 9+(45-12{)}^2\times 5)$$ 3. 具體計算：    - $(2.5-12{)}^2\times 29=({9.5}^2)\times 29\approx 846.25$    - $(7.5-12{)}^2\times 15=({4.5}^2)\times 15\approx 303.75$    - $(12.5-12{)}^2\times 23=({0.5}^2)\times 23=5.75$    - $(17.5-12{)}^2\times 9=({5.5}^2)\times 9\approx 272.25$    - $(25-12{)}^2\times 9=({13}^2)\times 9=1521$    - $(45-12{)}^2\times 5=({33}^2)\times 5=5445$    然後加總：    $$\approx 846.25+303.75+5.75+272.25+1521+5445\approx 8114$$ 4. 計算方差:    $$Var(X)=\frac{8114}{90}\approx 90.71$$ 5. 計算標準差:    $$SD(X)=\sqrt{Var(X)}\approx \sqrt{90.71}\approx 9.52$$ 問題 ②：計算超過 15 分鐘的比例 1. 計算不少於 15 分鐘的頻次：    - $15-20$分鐘: 9    - $20-30$分鐘: 9    - $30-60$分鐘: 5    總數：    $$9+9+5=23$$ 2. 計算比例：    $$P(X>15)=\frac{23}{90}\approx 0.2556(25.56\mathrm{\%})$$ 彙總 - 平均停車時間 $E(X)\approx 12$ 分鐘 - 標準差 $SD(X)\approx 9.52$ - 超過 15 分鐘的車輛比例約為 25.56% 這些步驟和計算可以作為您報告中的描述。在撰寫報告時，可以根據這些計算結果來提出結論。若有其他問題或需要進一步的幫助，請隨時告訴我！