#問題複數絕對值計算 | 課業板 | Meteor 學生社群

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問題數學 Meteor數學小老師

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B1 2024.12.27 03:05

解決這個問題的關鍵在於計算複數 $z = \frac{\sqrt{2} (a - i)^{3}}{(1 - i)^{3} (a - 3 i)^{2}}$ 的模是否為 1/3。以下是詳細的步驟： Step 1: 簡化模的計算對於複數的模，我們有以下公式： $| z | = | \frac{\sqrt{2} (a - i)^{3}}{(1 - i)^{3} (a - 3 i)^{2}} | = \frac{| \sqrt{2} | \cdot | (a - i)^{3} |}{| (1 - i)^{3} | \cdot | (a - 3 i)^{2} |}$ 由於 $| \sqrt{2} | = \sqrt{2}$ ，模公式可以簡化為： $| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot | (a - i) |^{3}}{| (1 - i) |^{3} \cdot | (a - 3 i) |^{2}}$ Step 2: 計算每項的模 - 計算 $| 1 - i |$ ： $| 1 - i | = \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2}$ - 計算 $| a - i |$ ： $| a - i | = \sqrt{a^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 1}$ - 計算 $| a - 3 i |$ ： $| a - 3 i | = \sqrt{a^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 9}$ Step 3: 把結果代入模的計算公式將上面的結果代入模的計算公式： $| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{a^{2} + 1})^{3}}{(\sqrt{2})^{3} \cdot (\sqrt{a^{2} + 9})^{2}}$ $| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot (a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 \sqrt{2} \cdot (a^{2} + 9)}$ $| z | = \frac{(a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 (a^{2} + 9)}$ Step 4: 解 $| z | = \frac{1}{3}$ 令 $| z | = \frac{1}{3}$ ，可得到： $\frac{(a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 (a^{2} + 9)} = \frac{1}{3}$ 交叉相乘得到： $3 (a^{2} + 1)^{3 / 2} = 2 (a^{2} + 9)$ 平方兩邊以消除平方根： $9 (a^{2} + 1)^{3} = 4 (a^{2} + 9)^{2}$ 可以進一步解這個方程來求得合適的 $a$ 值，然而這裡代入 $a = 0$ 來檢查是否符合題意。當 $a = 0$ 時： $(0^{2} + 1)^{3 / 2} = 1$ $2 (0^{2} + 9) = 18$ $1 \neq \frac{18}{9}$ 這顯示 $a = 0$ 不符合，因此需要進一步試驗可能的值 $a = 3$ ，或使用其他策略解決該方程以找到正確的a值。是否需要進一步計算或探討其他a值？

匿名

匿名

解決這個問題的關鍵在於計算複數

z = \frac{\sqrt{2} (a - i)^{3}}{(1 - i)^{3} (a - 3 i)^{2}}

的模是否為 1/3。以下是詳細的步驟： Step 1: 簡化模的計算對於複數的模，我們有以下公式：

| z | = | \frac{\sqrt{2} (a - i)^{3}}{(1 - i)^{3} (a - 3 i)^{2}} | = \frac{| \sqrt{2} | \cdot | (a - i)^{3} |}{| (1 - i)^{3} | \cdot | (a - 3 i)^{2} |}

由於

| \sqrt{2} | = \sqrt{2}

，模公式可以簡化為：

| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot | (a - i) |^{3}}{| (1 - i) |^{3} \cdot | (a - 3 i) |^{2}}

Step 2: 計算每項的模 - 計算

| 1 - i |

：

| 1 - i | = \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2}

- 計算

| a - i |

：

| a - i | = \sqrt{a^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 1}

- 計算

| a - 3 i |

：

| a - 3 i | = \sqrt{a^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 9}

Step 3: 把結果代入模的計算公式將上面的結果代入模的計算公式：

| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{a^{2} + 1})^{3}}{(\sqrt{2})^{3} \cdot (\sqrt{a^{2} + 9})^{2}}

| z | = \frac{\sqrt{2} \cdot (a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 \sqrt{2} \cdot (a^{2} + 9)}

| z | = \frac{(a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 (a^{2} + 9)}

Step 4: 解

| z | = \frac{1}{3}

令

| z | = \frac{1}{3}

，可得到：

\frac{(a^{2} + 1)^{3 / 2}}{2 (a^{2} + 9)} = \frac{1}{3}

交叉相乘得到：

3 (a^{2} + 1)^{3 / 2} = 2 (a^{2} + 9)

平方兩邊以消除平方根：

9 (a^{2} + 1)^{3} = 4 (a^{2} + 9)^{2}

可以進一步解這個方程來求得合適的

a

值，然而這裡代入

a = 0

來檢查是否符合題意。當

a = 0

時：

(0^{2} + 1)^{3 / 2} = 1

2 (0^{2} + 9) = 18

1 \neq \frac{18}{9}

這顯示

a = 0

不符合，因此需要進一步試驗可能的值

a = 3

，或使用其他策略解決該方程以找到正確的a值。是否需要進一步計算或探討其他a值？

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B2 2024.12.27 03:18

他講的都對除了分子的2次看成3次之外都對所以自己把他step3的3次改成2次就好交叉相乘那邊改成3(a^2+1)=2(a^2+9) 化簡得a^2=15 a=sqrt(15)

匿名

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匿名

他講的都對除了分子的2次看成3次之外都對所以自己把他step3的3次改成2次就好交叉相乘那邊改成3(a^2+1)=2(a^2+9) 化簡得a^2=15 a=sqrt(15)

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B2-1 (原 Po) 2024.12.27 04:17

B2抱歉還是問了小老師哈哈😅 我可能真的需要一步步仔細講解才能明白沒辦法跳過那些別人可以省略的計算步驟

匿名

B2抱歉還是問了小老師哈哈😅 我可能真的需要一步步仔細講解才能明白沒辦法跳過那些別人可以省略的計算步驟

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B2-2 2024.12.27 04:24

B2-1沒事～我懂每個人適合的學習方法都不一樣如果小老師對你來說比較好理解那當然更好！不過他蠻常出錯的（而且最近越來越常了🥺 但沒關係每篇召喚小老師的文我都會看不過只看數學小老師XD 我再幫他糾正給你就好

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B2-3 (原 Po) 2024.12.27 04:28

B2-2喔太暖了吧，謝謝你！

匿名

B2-2喔太暖了吧，謝謝你！

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