#問題數學作業進階題 | 課業板

請小老師為我示範此題，謝謝🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

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B1 2024.12.27 03:07

要解決這個問題，我們首先需要找出多項式 $x^{3} + a x + (a - 2) = 0$ 的兩個實根 $α$ 和 $β$ ，然後求 $| α - β |$ 的最小值。 Step 1: 分析多項式的性質我們有一個三次多項式： $f (x) = x^{3} + a x + (a - 2)$ 其中 $α$ 和 $β$ 是實根，表明至少有兩個實根。因此，三次多項式至少有兩個實根且並不是所有根都是複數。 Step 2: 維達公式使用維達公式，我們知道： 1. 所有根的和為 0，即： $α + β + γ = 0$ 2. 項的係數給出根的積： $α β + β γ + γ α = a$ $α β γ = - (a - 2)$ Step 3: 設計條件由於我們希望 $| α - β |$ 最小，我們可以考慮： - $α, β, γ$ 的值特性 - $| a |$ 如何影響根間距由於根的性質和多項式： - 求定義域 - 當 $β = 0$ 和 $γ = - α$ 時機率最大 Step 4: 使用特定數值進行求解假設： - $γ = 0$ ，那麼 $α + β = 0$ 此時： 1. $α = - β$ 2. $a = β (- β)$ 計算 $a$ 讓多項式持有實根： - 當 $| a - 2 |$ 到達特定極值 $β$ 與 $α$ 相等但符號相反 Step 5: 計算可行數字由于 $α = - β$ 且需要兩實根系統處於最小，這種情況可以發生於原圖等於0的圖形分析下。 $α$ 和 $β$ 根良好地接近。: 最直觀的情況是： $α = 1$ ， $β = 1$ ，得此時一模為1，對應的多餘值也是最小值。 ( $| a |$ ) 由此可得：最大值：2 此時求解的問題範圍內，如果需要更多符號细部請以数值数学方法檢查相同型證明。