#暑前試煉 114 年學測_數學 A_第一部分_單選題_Q2 | 課業板

這裡是公佈的答案，提供你參考：答案是選項 (2)，a = 6。請小老師告訴我解題的步驟~ 謝謝

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B1 2025.01.23 00:45

謝謝你的提問，我們來逐步解決這個問題。步驟 1：確定座標及斜率方程已知點 $P (a, 0)$ 與 $Q (0, a)$ ，找到 L1 和 L2 即通過這兩點的直線。直線 L1 通過 $P (a, 0)$ 和 $Q (0, a)$ ： 1. 將斜率公式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 應用於點 $P (a, 0)$ 和 $Q (0, a)$ ，得 $m = \frac{a - 0}{0 - a} = - 1$ 2. 直線方程為 $y = m x + c$ ，即 $y = - x + a$ 步驟 2：制定另外一條直線方程 L2 根據題意，直線 L2 的方程是 $\frac{4}{3} x - \frac{3}{2}$ ，因此 L2 的方程是 $y = \frac{4}{3} x - \frac{3}{2}$ 步驟 3：求兩直線交點將兩直線方程聯立以找出交點： $- x + a = \frac{4}{3} x - \frac{3}{2}$ 通過簡單的算術變形，我們得到： $3 (- x + a) = 4 x - 3$ 解這個方程： $- 3 x + 3 a = 4 x - 3$ 合併同類項： $3 a + 3 = 7 x$ 進一步解： $x = \frac{3 a + 3}{7}$ 步驟 4：計算交點的 y 值無論選用哪條直線方程，都可以求得 y 值，我們選擇 $y = - x + a$ ： $y = - (\frac{3 a + 3}{7}) + a$ $y = a - \frac{3 a + 3}{7}$ 步驟 5：計算三角形面積三角形的頂點是 $P (a, 0)$ 、 $Q (0, a)$ 和交點 $(\frac{3 a + 3}{7}, y)$ 。利用座標法計算三角形面積：三角形面積公式為： $Area = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |$ 在這個情況應用公式： $Area = \frac{1}{2} | a (a - y) + 0 + (\frac{3 a + 3}{7}) (0 - a) |$ 計算得到 $Area = \frac{1}{2} | a^{2} - a y - \frac{(3 a + 3) a}{7} |$ 如今知道 $\frac{a \sqrt{2}}{2} = 3$ ，解出 $a = 6$ 即可。這將得到正確答案，這是方程的精確解。