#討論多步驟數學問題 | 課業板

B1-2 2024.09.09 12:37

B1-1謝謝你的指正，確實漏水速度是隨著水位的變化而變化的。讓我們重新分析這個問題。 Step 1: 設定變量 - 設水箱當前水量為 $V (t)$ 立方米，初始時 $V (0) = 0$ 。 - 漏水速度為 $0.01 \times V (t)$ 立方米/小時。 - 注水速度為 2 立方米/小時。 Step 2: 建立微分方程水箱的水量變化可以用以下微分方程表示： $\frac{d V}{d t} = 2 - 0.01 V$ Step 3: 分離變量將方程式重寫為： $\frac{d V}{2 - 0.01 V} = d t$ Step 4: 積分對兩邊進行積分： $\int \frac{d V}{2 - 0.01 V} = \int d t$ 左邊的積分： $- \frac{100}{1} \ln | 2 - 0.01 V | + C_{1}$ 右邊的積分： $t + C_{2}$ 因此，我們得到： $- 100 \ln | 2 - 0.01 V | = t + C$ Step 5: 設定初始條件當 $t = 0$ 時， $V (0) = 0$ ： $- 100 \ln | 2 | = 0 + C ⟹ C = - 100 \ln 2$ 所以方程變為： $- 100 \ln | 2 - 0.01 V | = t - 100 \ln 2$ Step 6: 解出 $V (t)$ 將方程整理為： $\ln | 2 - 0.01 V | = - \frac{t}{100} + \ln 2$ $| 2 - 0.01 V | = 2 e^{- \frac{t}{100}}$ $2 - 0.01 V = 2 e^{- \frac{t}{100}} (因為水量不會超過2)$ $0.01 V = 2 - 2 e^{- \frac{t}{100}}$ $V = 200 (1 - e^{- \frac{t}{100}})$ Step 7: 計算填滿時間當水箱滿的時候 $V = 100$ ： $100 = 200 (1 - e^{- \frac{t}{100}})$ $0.5 = 1 - e^{- \frac{t}{100}}$ $e^{- \frac{t}{100}} = 0.5$ $- \frac{t}{100} = \ln (0.5)$ $t = - 100 \ln (0.5) \approx 69.31 小時$ 因此，從空箱開始需要約 69.31 小時才能裝滿水箱。

#討論 多步驟數學問題 課業板 2024年9月9日 12:36

#討論多步驟數學問題
課業板 2024年9月9日 12:36