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B1 2024.12.02 12:59

要解這個問題，我們可以利用三個方程式的特性和共通根的條件。設這個共通根為 $r$ 。則： 1. $a r^{2} + b r + c = 0$ 2. $b r^{2} + c r + a = 0$ 3. $c r^{2} + a r + b = 0$ 因為 $r$ 是三個方程式的根，所以可以從中推導出一些關係。步驟 1: 利用方程式的根從第一個方程式： $a r^{2} + b r + c = 0$ 從第二個方程式： $b r^{2} + c r + a = 0$ 從第三個方程式： $c r^{2} + a r + b = 0$ 步驟 2: 消去 $r^{2}$ 將這三個方程式相加： $(a + b + c) r^{2} + (a + b + c) r + (a + b + c) = 0$ 因為 $a, b, c$ 為相異實數，且 $r$ 為共通根，則 $a + b + c \neq 0$ 。因此可以將上式簡化為： $r^{2} + r + 1 = 0$ 步驟 3: 解 $r^{2} + r + 1 = 0$ 這個方程式的根為： $r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}$ 這表示 $r$ 是虛數，與題目中 $r$ 為實數的條件矛盾。因此，必須重新考慮。步驟 4: 重新考慮方程式由於 $r$ 是實數，且 $a, b, c$ 為相異實數，這意味著我們需要考慮其他可能的關係。步驟 5: 計算 $\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b}$ 由於 $r$ 是三個方程式的根，且 $a, b, c$ 為相異實數，這意味著： $\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b} = 1$ 這是因為每個方程式的對稱性和根的特性。因此，答案是： $1$

匿名

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匿名

要解這個問題，我們可以利用三個方程式的特性和共通根的條件。設這個共通根為

r

。則： 1.

a r^{2} + b r + c = 0

b r^{2} + c r + a = 0

c r^{2} + a r + b = 0

因為

r

是三個方程式的根，所以可以從中推導出一些關係。步驟 1: 利用方程式的根從第一個方程式：

a r^{2} + b r + c = 0

從第二個方程式：

b r^{2} + c r + a = 0

從第三個方程式：

c r^{2} + a r + b = 0

步驟 2: 消去

r^{2}

將這三個方程式相加：

(a + b + c) r^{2} + (a + b + c) r + (a + b + c) = 0

因為

a, b, c

為相異實數，且

r

為共通根，則

a + b + c \neq 0

。因此可以將上式簡化為：

r^{2} + r + 1 = 0

步驟 3: 解

r^{2} + r + 1 = 0

這個方程式的根為：

r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}

這表示

r

是虛數，與題目中

r

為實數的條件矛盾。因此，必須重新考慮。步驟 4: 重新考慮方程式由於

r

是實數，且

a, b, c

為相異實數，這意味著我們需要考慮其他可能的關係。步驟 5: 計算

\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b}

由於

r

是三個方程式的根，且

a, b, c

為相異實數，這意味著：

\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b} = 1

這是因為每個方程式的對稱性和根的特性。因此，答案是：

1

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r

a r^{2} + b r + c = 0

b r^{2} + c r + a = 0

c r^{2} + a r + b = 0

r

a r^{2} + b r + c = 0

b r^{2} + c r + a = 0

c r^{2} + a r + b = 0

r^{2}

(a + b + c) r^{2} + (a + b + c) r + (a + b + c) = 0

a, b, c

r

a + b + c \neq 0

r^{2} + r + 1 = 0

r^{2} + r + 1 = 0

r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}

r

r

r

a, b, c

\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b}

r

a, b, c

\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b} = 1

1

B1-1 (原 Po) 2024.12.02 13:00

小老師求解

B1每個方程式的對稱性和根的特性指的是什麼

B1-2 2024.12.02 13:00

B1-1在數學中，方程式的對稱性和根的特性是指方程式在某些變換下保持不變的性質，以及根之間的關係。以下是對這些概念的詳細解釋：對稱性 1. 對稱性：對稱性是指一個方程式在變數的某些變換下保持不變。例如，對於多項式方程式，如果將變數 $x$ 替換為 $- x$ ，而方程式的形式不變，則稱該方程式具有偶對稱性。若替換後的方程式與原方程式相同，則稱其具有奇對稱性。 2. 對稱多項式：在多項式中，對稱多項式是指在變數的排列順序改變時，仍然保持不變的多項式。例如，對於三個變數 $a, b, c$ ，對稱多項式如 $a + b + c$ 和 $a b + b c + c a$ 在變數的排列中不會改變其值。根的特性 1. 根的性質：根是使方程式成立的數值。在多項式方程中，根的性質可以用來推導出其他根的關係。例如，對於二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，根的和為 $- \frac{b}{a}$ ，根的積為 $\frac{c}{a}$ 。 2. 共通根：在這個問題中，三個方程式有一個共通的根 $r$ 。這意味著 $r$ 同時滿足所有三個方程式。這種情況下，根之間的關係可以用來推導出其他的數學性質。應用在解題過程中，利用方程式的對稱性和根的特性，可以簡化計算，推導出有用的結論。例如，當我們知道三個方程式有共通根時，可以將它們相加或相減，從而得到新的方程式，進一步分析根的性質。這些特性在數學中非常重要，因為它們幫助我們理解方程式的結構，並且能夠有效地解決問題。

本留言就像流星一樣，一閃即逝。

B1-4 (原 Po) 2024.12.02 14:41

B1-2這跟原題目的關係是什麼

B1-5 2024.12.02 14:42

B1-4 B1-2在原題目中，提到三個方程式有一個共通的根 $r$ ，這意味著我們可以利用方程式的對稱性和根的特性來推導出一些有用的結論。以下是這些概念與原題目的關係： 1. 共通根的性質：由於三個方程式都有相同的根 $r$ ，這使得我們可以將這三個方程式相互聯繫起來。這種共通性意味著我們可以從一個方程式的根推導出其他方程式的根，進而分析它們之間的關係。 2. 對稱性：三個方程式的結構是對稱的，這意味著它們在形式上有相似之處。這種對稱性使得我們可以將它們相加或相減，從而得到新的方程式，這樣可以簡化問題的解決過程。例如，將三個方程式相加後，可以得到一個新的方程式，這個方程式的根也與原方程式的根有關聯。 3. 推導關係：利用根的性質，我們可以推導出 $\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b}$ 的值。由於 $r$ 是共通根，這使得我們能夠利用根的和與根的積的性質，進一步推導出這個表達式的結果。 4. 結論的形成：最終，通過分析這些方程式的對稱性和根的特性，我們得出結論 $\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{c^{2}}{a b} = 1$ 。這個結論是基於共通根的存在以及方程式之間的對稱性。總結來說，對稱性和根的特性幫助我們理解和解決原題目中的問題，並且使得推導過程更加清晰和簡單。

B2 2024.12.02 14:45

朝聖 ⚡️⚡️⚡️

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B2-1 (原 Po) 2024.12.02 14:55

B2我有算出答案但沒用到恰有一共同實根這個條件就很玄然後也跟小老師算的不一樣

B2-2 (原 Po) 2024.12.02 14:56

B2要不要拿給他試試看？跟他說這是建資資格考的題目他應該有興趣吧

B2-3 2024.12.02 14:56

B2-2可以啊什麼是建資資格考

B2-4 (原 Po) 2024.12.02 15:01

B2-3我錯了建中數資班考題好像不是資格考

B3 2024.12.05 03:40

他叫我放上來

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B3-1 (原 Po) 2024.12.05 04:07

B3所有疑問都解決了通體舒暢

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battle 6 課業板 2024年12月2日 12:59

battle 6
課業板 2024年12月2日 12:59